TEOREMA DE PITÁGORAS, TERNA PITAGÓRICA, FRACCIÓN PITAGÓRICA, TABLA PITAGÓRICA, CONSTANTE DE PITAGÓRAS, ESCALA PITAGÓRICA, COMA PITAGÓRICA ÁRBOL DE PITÁGORAS, LETRA PITAGÓRICA, CRÁTER DE PITÁGORAS

PITÁGORAS (h. 582 a.C. – 497 a.C.)
Rafael V. Martín Algarra

Este filósofo y matemático griego nació hacia el año 582 a.C. en la isla de Samos. Aunque los datos sobre su vida son escasos y en algunos puntos poco claros, se cree que su padre fue un mercader de vinos originario de Tiro llamado Mnesarco y su madre una nativa de Samos llamada Pythais. Algunos relatos cuentan que Pitágoras viajó a menudo con su padre, conociendo numerosos sabios de Caldea, Egipto, Siria e Italia. Aprendió a tocar la lira, a hacer poesía y a recitar a Homero. Se considera que su principal maestro fue su tío materno Ferécides de Siros, así como Tales de Mileto, Anaximandro y Anaxímenes que influyeron en su formación en el pensamiento matemático. Acerca de su muerte existen varias versiones, pues se cree que debido a la influencia y poder político que llegaron a tener los pitagóricos, se enfrentaron a diferentes revueltas y tensiones políticas que obligaron a Pitágoras a exiliarte a Metaponte, una ciudad al norte de Crotona, donde algunos autores dicen que murió de hambre y otros relatan que fue asesinado. Su muerte se data hacia el año 497 a.C. Sus discípulos transformaron la casa donde murió en un santuario que aún era famoso en la época de Cicerón (siglo I a.C.).

Escuela pitagórica

La información que se tiene de la vida de Pitágoras está quizás envuelta en un halo misterioso, probablemente debido a que era el fundador de una escuela científica y filosófica basada en la medida y en la armonía. Su famosa escuela estaba establecida en Crotona, colonia griega situada al sur de la península itálica. La disciplina y la conducta en la escuela pitagórica eran muy estrictas y se admitía a hombres y mujeres sin distinción alguna.

La  educación de sus discípulos se basaba de la práctica de la gimnasia, la alimentación vegetariana, la música y el estudio del conocimiento por medio de las matemáticas. De ahí que el lema de la escuela pitagórica fuera “Todo es número”.

De hecho, a Pitágoras se le atribuye la invención de la palabra “Matemática” del griego τά μαθηματικά, palabra derivada de μαθημά, que significa “aprendizaje”.

Aunque no se tiene la certeza de cuáles de los descubrimientos e ideas de la escuela pitagórica se deben al propio Pitágoras y cuáles a sus discípulos, lo cierto es que fueron los pitagóricos los primeros en advertir sobre la necesidad de expresar los fenómenos de la Naturaleza por medio de los números, es decir, crearon el co­nocimiento cuantitativo.

Teorema de Pitágoras

Sin duda el enunciado más conocido por los estudiantes de matemáticas es el que dice que el cuadrado de la hipote­nusa (z) de un triángulo rectángulo es igual a la suma de los cuadrados de los catetos (x e y).

En otro enunciado se describe el teorema como el área del cuadrado construido sobre la hipotenusa de un triángulo rectángulo es igual a la suma de las áreas de los cuadrados construidos sobre los catetos.
Aunque este teorema ya era conocido muchos siglos antes en China, India y la antigua Babilonia, es probable que fueran Pitágoras o sus discípulos los que por primera vez lo demostraron, pero la primera demostración escrita se debe a Euclides (330 a.C. – 275 a.C.) que la presenta en su libro Elementos de Geometría Plana. Desde entonces se conocen más de 360 demostraciones del teorema.

El teorema de Pitágoras se considera la primera relación entre dos ramas de las ciencias matemáticas: la geometría y la aritmética.

Terna pitagórica

Una terna pitagórica es un trío de números enteros que cumplen con el teorema de Pitágoras, como por ejem-plo los siguientes:

Algunas de estas ternas ya aparecen en la llamada tablilla de Plimton 332, una tablilla de barro de origen babilónico datada en el 1800 a.C. y que se conserva en la Universidad de Columbia.

Los pitagóricos encontraron que cualquier entero impar es miembro de una terna pitagórica primitiva. La manera de generar todas las ternas posibles fue resuelta muchos siglos después por Leonardo de Pisa (1170-1250), también conocido como Fibonacci.

Se llama terna primitiva aquella terna (x, y, z) que no es múltiplo de otra. Por ejemplo, la terna (6, 8, 10) es un múltiplo de la terna (3, 4, 5), siendo ésta última una terna primitiva.

Las ternas pitagóricas primitivas se generan de acuerdo con la siguiente expresión:

siendo m y n, números enteros de paridad distinta.

Fracciones pitagóricas

Las fracciones pitagóricas corresponden a fracciones irreductibles de una terna que cumple el teorema de Pitágoras. Por ejemplo para la terna (a, b, c) se cumple que:

de modo que si dividimos a ambos miembros de la ecuación por c2 obtenemos la siguiente expresión:

en la que a/b y b/c son fracciones irreductibles, es decir, es imposible simplificarlas más, como las que se muestran a continuación:

Tabla pitagórica 

Otro de los “inventos” atribuidos a Pitágoras es esta tabla de multiplicar en la que los números se disponen en forma de cuadro, de manera que la intersección de cada columna y cada fila nos proporciona el resultado de la multiplicación de los números que encabezan dicha columna y fila.

Constante de Pitágoras

También se atribuye a Pitágoras el descubrimiento de los números irracionales, o inconmensurables, debido a la dificultad de su determinación exacta por la gran cantidad de cifras decimales que poseen. El número que se conoce como constante de Pitágoras, es precisamente un número irracional cuyo valor equivale a la raíz cuadrada de dos. Geométricamente es la longitud de la hipotenusa de un triángulo rectángulo cuyos dos catetos son iguales y de valor la unidad. El valor de esta hipotenusa se puede calcular por el teorema de Pitágoras.

El resultado por tanto es un número real positivo que multiplicado por sí mismo da el número dos, que con-tiene más de 60 decimales

Escala Pitagórica

Según los pitagóricos todas las cosas son numerables y muchas de ellas pueden ser expresables numéricamente, siendo el descubrimiento de la expresión numérica de los intervalos musicales lo que más les impresionó. Ellos se dieron cuenta de que la altura de un sonido depende del número en tanto en cuanto depende de la longitud de las cuerdas, de ahí que sea posible representar numéricamente los intervalos de la escala.
Para obtener la escala se dice que Pitágoras inventó un instrumento de una sola cuerda, el monocordio, que permite cambiar la longitud de la cuerda para obtener diferentes sonidos. Pulsando la cuerda del monocordio en su máxima longitud obtenemos la nota original. Si la longitud de la cuerda se reduce a la  mitad, es decir una relación 1:2 obtenemos una octava. Si la longitud es 3:4 obtenemos la cuarta y si es 2:3 tenemos la quinta.

Con este instrumento Pitágoras pudo obtener las siete notas de la escala y construir la escala natural o de sonidos diatónicos.
A modo de ejemplo se muestra, en la tabla siguiente, las frecuencias y longitudes de las cuerdas centrales de un piano, así como la nota de la escala a la que corresponden. Entre paréntesis se indica la frecuencia en Hertz y la longitud de la cuerda asumiendo que para la nota Do se dispone de una cuerda de 100 cm.

La relación entre el número y la armonía musical les llevó a concluir que la armonía del universo dependía también de los números. El cielo era entendido como una gran escala musical y un número.

Coma pitagórica

La escala, sus proporciones y sus relaciones numéricas con los diferentes tonos que se pueden obtener, han sido de gran importancia para la construcción y afinación de los instrumentos que tuvo una vigencia de más de veinte siglos. Fue Juan Sebastian Bach quien rompió con la afinación diferenciada por tonos, en la que, por ejemplo, do sostenido y re bemol se encuentran separados por una fracción numérica pero prácticamente imperceptible en el tono. Esa cantidad es la que se conoce como Coma pitagórica, que se puede definir, según los entendidos, como el intervalo musical que resulta de la diferencia entre doce quintas perfectas y siete octavas..

Árbol de Pitágoras

Con este nombre se conoce un fractal relativamente reciente, pues, que se tenga constancia, el primer árbol de Pitágoras fue construido por un profesor de matemáticas holandés llamado Albert E. Bosman (1891-1961).
Un fractal es una figura plana o espacial, compuesta de infinitos elementos, que tiene la propiedad de que su aspecto y distribución estadística no cambian cualquiera que sea la escala con que se observe. Por tanto son objetos semigeométricos cuya estructura básica se repite a diferentes escalas.
Durante siglos se ha ilustrado el Teorema de Pitágoras por medio de una figura que consta de un triángulo rectángulo y tres cuadrados. Con esta figura se puede construir el árbol de Pitágoras, pues basta con reducir y copiar la figura base, de modo que se ajuste a las dimensiones de los cuadrados menores. Este fractal puede ser simétrico o asimétrico dependiendo de si los catetos del triángulo rectángulo que aparece en la figura inicial son iguales o no.

Letra pitagórica: la Y griega

El Diccionario de la Real Academia de la Lengua Española recoge este término para referirse a la letra Y, pues para Pitágoras esta letra representaba los dos caminos de la vida.

Cráter Pitágoras

El cráter Pitágoras se encuentra en la Luna, en las proximidades del Océano de las Tormentas (Oceanus Procellanum). Se trata de un cráter complejo de unos 120 km de diámetro; el suelo del cráter es relativamente plano, presenta un pico central de paredes de unos 5000 m.

Bibliografía

Página web de Carlos Prieto de Castro. Grandes Científicos de la Humanidad. Manuel Alfonseca Moreno. Editorial Espasa, Madrid 1998

Diccionario de Física.  H. Franke. Editorial Labor, Barcelona 1967

Diccionario de la Lengua Española Vigésimosegunda edición
Visitar Web RAE

Juan José Fallas. Ternas pitagóricas: métodos para generarlas y algunas curiosidades Revista digital Matemática, Educación e Internet
Visitar Web Revista Digital matemática Vol. 9, No 2. 2009

Foto SMART-1: Cráter Pitágoras 3 de febrero de 2005. Visitar Web Observatorio.info es la traducción oficial en español de “Astronomical Picture of the Day” de la NASA. Fecha del enlace: 12 de junio de 2010

Rafael V. Martín Algarra
Universidad Cardenal Herrera-CEU
Moncada (Valencia)

Descargar PDF Epónimo Científico Pitágoras